基、维度和矩阵的线性变换
下一个目标是定义向量空间的维数。
定义
一组向量构成向量空间V的基，如果给定V中的任何向量，存在唯一标量，满足定义
向量空间V的维度，用表示，是基中元素的数目。很明显，无论选择哪个基，基中的元素数总是相同的，为了定义好向量空间的维度，我+们需要以下定理：
定理
向量空间V的所有基都具有相同的元素个数。对于实数向量空间，通常的基是
因而是维的。
当然，如果这不是真的，上述维度定义将是错误的，我们需要另一个维度定义。这是前文里提到的原则的一个例子。对于某些特定的例子，我们对维度的含义有很好的直觉理解：直线是一维的，平面是二维的，空间是三维的。然后我们给出了一个明确的定义。如果这个定义为我们已经理解的三个例子给出了“正确”的答案，那么我们有点信心，这个定义确实抓住了维度的含义。然后，我们可以将定义应用到我们的直觉无法触及的地方。
与基的概念相关的概念如下。
定义
向量空间V中的向量是线性独立的，如果成立时，当且仅当标量必须全部为零。直观地说，如果向量集合都指向不同的方向，则它们是线性独立的。然后，基由可扩张向量空间的线性独立向量集合组成，扩张的定义如下：
定义
一组向量可以扩张向量空间V，如果给定V中的任何向量，则有标量，满足我们现在的目标是，展示有限维空间之间的所有线性变换，假设向量空间V和W的基已确定，如何表示为矩阵乘法。
首先确定向量空间V的一个基，和向量空间W的一个基。在研究线性变换T之前，我们需要说明如何将n维空间V的每个元素表示为中的列向量，以及m维空间W的每个元素如何表示为中的列向量。
对于V中的向量，根据向量空间基的定义，有唯一的实数，满足向量可以表示为一个列向量
类似地，对于W中的任何向量，都有唯一的实数，满足
将表示为列向量
注意，我们已经分别在V和W中的向量与列向量和之间建立了对应关系。严格地说，我们可以证明V同构于，W同构于，尽管必须强调，实际的对应关系只有在选择了一个基之后才存在，这意味着虽然同构存在，但它不是规范的，这实际上是一个大问题，因为在实践中，通常情况下，没有给我们提供基础。
我们现在想要将线性变换表示为矩阵。对于向量空间V中的每个基向量，将是W中的向量。因此存在实数，使
我们将看到线性变换T将对应于矩阵
给定V中的任何向量，存在，有
通过下面的等价公式，我们可以看到向量空间与列向量之间的关系：
=
如果是一个到自身的线性变换，则相关的是一个。
给定不同的向量空间的基，同样的线性变换将对应不同的矩阵，因而产生了一个问题，如何判断两个矩阵代表着同一个线性变换。